DETERMINACION DE MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION

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  Este tema se me hizo muy interesante ya que esto te puede ayudar a saber cuáles son los máximos y mínimos de una función y de esa forma poder optimizar, ya sea un proceso o alguna otra cosa, también es útil para graficar ecuaciones y resolver problemas de optimización.

Los máximos y mínimos pueden ser absolutos o relativos, un máximo o mínimo absoluto es el valor mayor o menor que puede tomar la función en todo su rango. Un máximo o mínimo relativo es el valor mayor o menor que toma la función en un determinado intervalo.

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Las matemáticas nos permiten entender y describir el mundo que nos rodea de maneras fascinantes. Una de las herramientas más poderosas que tenemos en matemáticas es el estudio de las funciones y un aspecto importante de las funciones es identificar sus máximos y mínimos, algo que es posible con el uso del cálculo diferencial.

Los máximos y los mínimos nos indican los valores más altos y más bajos que una función puede alcanzar y tienen aplicaciones en muchas áreas, desde la economía hasta la ingeniería. En esta publicación comprenderemos con exactitud estos conceptos y analizaremos el procedimiento para calcular dichos puntos.

¿Qué son los máximos y mínimos de una función?

La determinación del máximo y mínimo de una función es una de las aplicaciones de las derivadas con mayor importancia, veamos en qué consiste:

Se entiende por máximo o mínimo al valor más grande o valor más pequeño que puede adquirir una función en un punto de su gráfica.

Imagina una montaña y un valle. El punto más alto de la montaña sería un máximo, mientras que el punto más bajo del valle sería un mínimo. De manera similar, en una función matemática, el máximo es el valor más alto que puede alcanzar la función en un intervalo, y el mínimo es el valor más bajo.

Existen dos tipos de máximos y mínimos: absolutos y relativos. Los máximos y mínimos absolutos son los puntos más altos y más bajos en todo el dominio de la función. Por otro lado, los máximos y mínimos relativos son los puntos más altos y más bajos en una región específica del dominio de la función.

En la gráfica anterior, los puntos P1, P2, P3, Q1, Q2 y Q3 representan los puntos críticos de cada función y al mismo tiempo según el caso:

• P1 es el punto máximo absoluto de la primera función
• P2 es un mínimo relativo
• P3 es un máximo relativo
• Q1 es un mínimo relativo
• Q2 es un máximo relativo
• Q3 es un mínimo absoluto de la segunda función

¿Para qué sirven los máximos y mínimos de una función?

Los máximos y mínimos de una función son extremadamente útiles en muchas situaciones del mundo real. Por ejemplo, si una empresa quiere maximizar sus ganancias, necesitará encontrar el punto máximo de una función que represente sus beneficios. Del mismo modo, si un ingeniero quiere minimizar el costo de producción, necesitará encontrar el punto mínimo de una función que represente los costos.

Además, en ciencias naturales, los máximos y mínimos nos ayudan a entender fenómenos como las fluctuaciones de temperatura, el comportamiento de los animales y muchos otros aspectos de la naturaleza. Identificar estos puntos críticos es esencial para hacer predicciones y tomar decisiones informadas.

¿Qué son los puntos críticos de una función?

Para encontrar los máximos y mínimos de una función, primero debemos identificar los puntos críticos. Un punto crítico de una función es un valor de la variable donde la derivada de la función es cero o no existe. En otras palabras, son los puntos donde la pendiente de la curva de la función se aplana o cambia de dirección.

Por ejemplo, si tenemos una función , los puntos críticos se encuentran resolviendo la ecuación . Estos puntos son candidatos a ser máximos, mínimos o puntos de inflexión (donde la curva cambia de concavidad).

Criterios para determinar máximos y mínimos de una función

Una vez que hemos identificado los puntos críticos, necesitamos determinar si cada uno de ellos es un máximo, un mínimo o un punto de inflexión. Para ello, utilizamos dos criterios principales: el criterio de la primera derivada y el criterio de la segunda derivada.

El criterio de la primera derivada nos dice que si la derivada de la función cambia de positiva a negativa en un punto crítico, entonces ese punto es un máximo. Si la derivada cambia de negativa a positiva, entonces ese punto es un mínimo.

El criterio de la segunda derivada implica que, si la segunda derivada de la función es positiva en un punto crítico, entonces ese punto es un mínimo, porque la función es cóncava hacia arriba. Si la segunda derivada es negativa, entonces el punto es un máximo, porque la función es cóncava hacia abajo.

¿Cómo calcular los máximos y mínimos de una función?

Para calcular los máximos y mínimos de una función, seguimos un proceso en varios pasos. Primero, derivamos la función para encontrar su derivada. Luego, resolvemos la ecuación de la derivada igualada a cero para encontrar los puntos críticos.

Después, usamos el criterio de la primera o segunda derivada para determinar si cada punto crítico es un máximo, un mínimo o un punto de inflexión. Finalmente, evaluamos la función en estos puntos para encontrar los valores de los máximos y mínimos.

Fuentes de Información

https://calculodiferencial.com/maximos-y-minimo-de-una-funcion/#:~:text=Los%20m%C3%A1ximos%20y%20los%20m%C3%ADnimos,procedimiento%20para%20calcular%20dichos%20puntos.

https://www.fisimat.com.mx/maximos-y-minimos-de-una-funcion/

https://www.youtube.com/watch?v=2YCea06t_Qc

https://www.youtube.com/watch?v=wjm8iYrtGIQ

https://www.youtube.com/watch?v=ppI4NKTScxw