CALCULO DE VOLUMEN PARA SOLIDOS EN REVOLUCION

 Conocimiento Personal

Este tema se me hizo algo complejo ya que no es tan fácil definir cuando es un método y cuando es otro, aunque se igual forma una vez identificado, pues ya es normal el integrar. Solo que, si es algo difícil, me gusta la manera que nos da los ejemplos, para estos tipos de temas no hay más que practicar y practicar, ya que como es un tema que se ve un día y a veces ya no lo vemos y seguimos con el siguiente, se nos olvida y sin practicar pues todavía más.

Nos dios ejemplos de Método de Discos y Método de arandelas. Todo esto para calcular el volumen de una gráfica.

Conocimiento Consultado

Superficies de revolución

Antes de comenzar a estudiar el método de los discos, definiremos lo que es una superficie de revolución.
Una superficie de revolución es una figura sólida que se obtiene al girar una curva plana alrededor de un eje que se encuentra en el mismo plano, a este eje se le conoce como eje de revolución. Veamos unos ejemplos.

En la figura (1)$(1)$ tenemos un rectángulo con altura y ancho, variables (figura de la izquierda), obsérvese que está en un plano, es decir, es una figura en 2 dimensiones, si nosotros hacemos girar esta figura alrededor del eje $x$ obtenemos un cilindro como en la figura de la derecha.

En la siguiente figura (2)$(2)$ tenemos un triángulo rectángulo isósceles (figura de la izquierda), si nosotros hacemos girar este triángulo alrededor del eje $y$ lo que obtendremos es una pirámide como el lado derecho de la figura 2.

A estas figuras «creadas» se les conoce como superficies de revolución, a continuación, veremos como calcular su volumen por el método de los discos.

Método de los discos

Supongamos que tenemos una función $f(x)$f(x) en un intervalo [a,b] $[a,b]$y que cortamos una «rebanada» con un ancho Δx de la función f(x) como se muestra en la figura (3).

Al hacer girar esta función alrededor del eje $x$x obtendremos una superficie de revolución (figura 4$(4)$), la «rebanada» que tomamos al girarlo alrededor del eje obtendremos un cilindro de radio r$r$ y ancho Deltax$\mathrm{\Delta }x$.

Para calcular el volumen de esta superficie de revolución la «rebanamos» n$n$ veces y sumamos estos pedazos, es decir:

Recordemos que el volumen de un cilindro está dado como V=piR^2h $V=\pi r^{2}h$, entonces el volumen de nuestra superficie de revolución es:

Si tomamos el límite cuando n --> infinito$\to \mathrm{\infty }$ obtenemos:

Por lo que definimos el volumen de una superficie de revolución alrededor del eje $x$x como:

Análogamente, se puede deducir lo mismo para una superficie de revolución generado por una curva plana alrededor del eje y$y$. Se define el volumen de una superficie de revolución alrededor del eje y$y$ como:

Observación: Para el método de los discos el corte siempre debe ser perpendicular al eje de rotación.

Método de las arandelas

Si la región que se hace girar para generar el sólido de revolución no se acerca al eje de rotación, ni está en él, tendremos que al girarlo sobre el eje se obtendrá un agujero en su centro, es decir, un sólido de revolución con un agujero alrededor del eje de rotación. Si utilizamos el mismo método visto anteriormente para calcular su volumen, en vez de discos, tendremos que las secciones transversales perpendiculares al eje de rotación son arandelas, el área de la arandela está dada como:

Donde R(x) es el radio mayor y $r(x)$r(x) es el radio menor de la arandela como se muestra en la figura (5)$(5)$, por lo que nos interesa el volumen entre R(x) y r(x).

$r(x)$

Por consecuencia, el volumen lo podemos calcular como:

Ejemplos

• Calcula el volumen del sólido de revolución formado al hacer girar la región acotada por la gráfica f(x)=sin⁡(x), alrededor del eje x y acotadas por las rectas x=0 y x=π

En este caso obtenemos la siguiente figura (6).

Figura 6: Función f(x)=sin⁡(x) (figura de la izquierda) y la superficie de revolución alrededor del eje x (figura derecha).

Utilizamos la relación (1), ya que la función gira alrededor del eje x, por lo que el volumen de este sólido de revolución es:

V=π∫0π(sin⁡(x))2dx=π∫0πsin⁡(x)dx=π(−cos⁡(x))|0π=π−(−1−1)=2π

• Determinar el volumen del sólido de revolución generado alrededor de y=g(x)=1 por la función y=x y las rectas x=1 y x=4 (figura (7)).

Al girar la función f(x)=x alrededor de y=1 tendremos una especie de parábola.

Observamos que:

R(x)=f(x)−g(x)=x−1⇒R2(x)=x−2x+1

Por ende, utilizamos la relación (1) para calcular el volumen como:

V=π∫14(x−2x+1)dx=π(x22−223x3/2+x)|14=7π6

• Determina el volumen del sólido de revolución acotada por las curvas y=x2+1 y la recta y=−x+3 alrededor del eje x.

Para saber en qué intervalo vamos a integrar, igualamos las funciones:

x2+1=−x+3⇒x2+x−2=0⇒(x+2)(x−1)=0

Por lo que integramos desde x=−2 a x=1

Del eje de rotación, sea el radio menor r(x)=x2+1 por estar más próximo a este eje en este intervalo, y sea el radio mayor R(x)=−x+3, como se muestra en la figura (8).

Figura 8: Área de interés entre las curvas (figura de la izquierda) con su respectivo solido de revolución (figura de la derecha).

Para calcular el volumen de este sólido, utilizamos la relación (3), por lo que:

V=π∫ab(R2(x)−r2(x))dx=∫−21π[(−x+3)2−(x2+1)2]dx

Fuentes de Información 

https://www.youtube.com/watch?v=GQYtQxq6noU

https://www.youtube.com/watch?v=SKZ9cP_NGEM

https://www.youtube.com/watch?v=58-urgd6GJU

https://blog.nekomath.com/tag/calculo-volumenes-de-solidos-de-revolucion/