Teorema de Límites

Conocimiento Personal

Para este tema mi conocimiento personal fue que existen varias fórmulas para y debes de saber bien cuál es la que vas a necesitar para poder desarrollar tus problemas, también volvió a abrir mi mente ya que tenía alrededor de 10 años sin estudiar algún tema de este tipo.

Aprendí que en cálculo debemos evitar los resultados en decimales. Y que hay varias técnicas que se pueden aplicar para saber si el límite existe, no existe o es indeterminado!

Sin el afán de demeritar a nadie, creo que entendí mucho de lo que explico en clase ya que tiene una forma de enseñar las cosas que para mí en lo personal fue un poco más fácil de entender.

Conocimiento Consultado

Sabemos que los límites son expresiones abstractas, es decir, nunca se pueden tocar ni visualizar, simplemente se entienden los conceptos básicos, teoremas y cómo trabajar con estos, y para eso tenemos que estudiar algo de teoría que se abordará a continuación, avancemos. 

El límite de una función.

Sea la función

la función f está definida para todos los valores de (x), excepto en x=1 y la función puede simplificarse a: f(x) = 3x+1 si x≠1.

Vamos a tabular dando valores a (x) cada vez más próximos a 1.0, que es donde vemos que se abre la función en la gráfica, pero menores que 1.0 y observemos qué valores adquiere la función f(x).

x	0	0.5	0.75	0.9	0.99	0.999	0.9999
f(x) = 3x +	1.0	2.5	3.25	3.7	3.97	3.997	3.9997

Ahora demos valores a (x), cada vez más próximos a 1, pero mayores que 1, y observemos los valores que adquiere f(x).

x	2.0	1.5	1.25	1.1	1.01	1.001	1.0001
f(x) = 3x +	7.0	5.5	4.75	4.3	4.03	4.003	4.0003

En las tabulaciones anteriores vemos que a medida que (x) se aproxima más a 1, f(x) se aproxima más a 4 y mientras más cerca se encuentra (x) de 1, f(x) estará más cerca de 4. Estas aproximaciones de la variable (y) de la función o f(x), pueden expresarse de la siguiente manera:

f(x) = 4

Otra forma de expresar esto es hacer |f(x)-4| tan pequeño como se desee, haciendo |x-1| lo suficientemente pequeño para lograrlo.

A la primera diferencia |f(x)-4| se le asigna el símbolo (épsilon) y a la segunda |x-1| le llamamos (delta) y diremos que |f(x)-4| será menor que , siempre que |x-1| sea menor que y mayor que cero, ya que x≠1. Es importante hacer notar que la magnitud de depende de la magnitud de . Resumimos diciendo que existe algún número positivo lo suficientemente pequeño como para que |f(x)-4| < ε siempre que 0< |x-1| <δ.

Esta explicación anterior se encuentra en la literatura generalizada de la siguiente manera:

Sea f una función que está definida en todo punto de algún intervalo abierto que contenga a (a), excepto posiblemente en el número (a) mismo. El límite de f(x) cuando x se aproxima a (a) es L y se denota como:

f(x) = L

Si para cualquier ε>0, por pequeño que sea, existe un δ>0: |f(x)-L|<ε siempre que 0< |x-a| <δ. Es necesario hacer notar que no se requiere que f(x)  exista para que f(x) exista.

Entonces, lo que esto significa es que al variar (x) en valores muy pequeños, f(x) cambia también en valores pequeños hasta aproximarse a un límite L.

Resolver problemas de límites puede hacerse por tabulación, es decir, aproximando la variable (x) hacia algún valor para observar hacia qué valor se aproxima la función, o utilizando la definición:

Ahora el propósito es presentar los teoremas que pueden utilizarse para simplificar el procedimiento del cálculo de límites, con los cuales será posible determinar límites de funciones sin hacer referencia a ε o δ.

• Teorema 1: Si a y c son números reales cualesquiera, entonces: C=C.
• Teorema 2:  Si a es un número real cualquiera: x=a.
• Teorema 3: Si a, b y c son números reales, entonces: (mx+b) = ma+b.
• Teorema 4: Si f(x) =L1 y g(x) =L2 entonces:

• Teorema 5: Si f(x) es un polinomio, entonces f(x) = f(a).
• Teorema 6: Si f(x) = L y n es un entero positivo, entonces [f(x)]n =Ln.
• Teorema 7: Si f(x) =L, 

entonces n√f(x) = n√L

• Si L > 0 y n es un entero positivo. 

O si:

• Si L < 0 y n es un entero impar positivo.

• Teorema 8: (Para límites Unilaterales)

El límite de f(x) = L si y sólo si f(x) = f(x) =L 

Si f(x) ≠ f(x) entonces f(x) =L no existe.

• Teorema 9: (Para límites al infinito)

• Teorema 10:

• Teorema 11: Si c es cualquier número real, f(x) = 0 y g(x) = c con c≠0.

Ahora vamos a utilizar estos teoremas para resolver límites de diferentes funciones. Comprueba los que ya están resueltos.

Fuentes de Información

• Límites y continuidad
• Swokowski, E. W. (1989). El Cálculo con Geometría Analítica. (2da ed.). Grupo Editorial Iberoamérica. 
• Leithold, L. (1994). El Cálculo. (7aba ed.). Oxford University Press
• https://blogs.ugto.mx/rea/clase-digital-8-definicion-de-limite-y-teoremas/
• https://www.youtube.com/watch?v=h9lEAU5-CSg