Continuidad de una Función

 Conocimiento Personal

Se me hizo un tema interesante al igual que los otros, la manera en que nos da los ejemplos hace que sea más sencillo de entender hay 3 condiciones con las cuales tiene que contar una función continua y esas son:

1.- Que el punto x= a tenga imagen

            f(a)

2.- Que exista el límite de la función en el punto x=a
            Lim f(x) <-----> Lim f(x) = Lim f(x)

              x-->a                 x--> a- Izq        x--> a+ Der

3.- Que la imagen, el punto coincida en el límite de la función en el punto

            f(a) = Lim f(x)

                        x-->a

También nos volvió a recordar un pongo de los rangos y el dominio de una función. 

Conocimiento Consultado

Intuitivamente, una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel.

 Ejemplo de función continua: 

f(x)=x3.                  

Gráfica

Ejemplo de función no continua:

   f(x)=1/x.

Gráfica: 

 

 

 

La función f es continua en el punto c si

limx→c f(x)=f(c)

La función f es continua si es continua en todos los puntos.

Por ejemplo, la función 

En realidad, para hablar de continuidad en un punto a, debería ser indispensable que el punto a pertenezca al dominio de la función.
Por ejemplo, el dominio de f(x)=1/x es R− {0} y la función es continua en su dominio. Sin embargo, no existe el límite de f(x) cuando x→0 ni existe f (0), por lo que decimos que f no es continua en x=0.

$$

Como normalmente consideramos a todas las funciones como f: R→R, tenemos que calcular primero el dominio de la función y, después, la continuidad en el dominio.

LIMITES LATERALES

Intuitivamente, el límite de una función f(x) cuando x→a es el valor al que f(x) se aproxima cuando x se aproxima a (a).

Límite lateral de f(x) cuando x tiende a (a) por la izquierda:

limx→a−f(x)

Límite lateral de f(x) cuando x tiende a (a) por la derecha:

limx→a+f(x)

 

Sin embargo, en ocasiones, la función f(x) se aproxima a uno u otro valor según si x se aproxima a (a) por la izquierda o por su derecha. Por esta razón existe el concepto limite lateral. 

Si los límites laterales no coinciden, diremos que no existe el límite:

∄limx→af(x)

Si coinciden, entonces

limx→a+f(x)=limx→af(x)=limx→a−f(x)

Por ejemplo, la gráfica de f(x)=1/(2x)$\mathrm{ es:<span\; style="background:\; white;\; font-family:\; "Arial",sans-serif;"><o:p></o:p></span>}$

 

  

En la gráfica se observa que

• Cuando x se aproxima a 0 por la derecha, la función crece indefinidamente: lim x→0+1/2x=+∞
• Cuando xx se aproxima a 0 por la izquierda, la función decrece indefinidamente: lim x→0−1/2x=−∞

Por tanto, no existe el límite cuando x→0:

$$

∄limx→01/2x

Fuentes de Información

https://www.matesfacil.com/resueltos-continuidad.htm

https://www.youtube.com/watch?v=lBNB7mPC8YU

https://www.youtube.com/watch?v=VvILwqxWG8g&t=1s