CAMBIO DE VARIABLE

 Conocimiento Personal

Aprendí que con el cambio de variable puedes bajar la dificultad de la integral y así será más fácil de integrar, aunque debes de tener cuidado ya que es como un acertijo para poder encontrar las forma de que sea más sencillo.

Me di cuenta de que dominar el cambio de variable es clave para las soluciones de los problemas que nos da el profe, me gusto, solo si se me hizo más complicado cuando es una raíz.

Conocimiento Consultado

La integración por sustitución o cambio de variable, que como bien se menciona, es una técnica de integración que necesita uno o más cambios de variables adecuados en el integrando, de tal forma que la integral sea más sencilla de resolver. Comenzamos enunciando el teorema siguiente, la integración por sustitución.

Sea $g$g una función derivable y con derivada continua, sea f$f$ una función continua en un intervalo. Supón además que f$F$ es una antiderivada de f$f$ entonces: 

Demostración:

Por hipótesis, F$F$ es primitiva de f$f$, entonces por el segundo teorema fundamental del Cálculo [ Hipervínculo: Calculo II-Segundo Calculo fundamental del cálculo] tenemos que:

Por otro lado, dado que f$f$ es continua, entonces tiene una antiderivada F$F$, la función compuesta f o g$f\circ g$ está definida, ya que g$g$ es una función, como g$g$ es diferenciable, tenemos que, por la regla de la cadena y la definición de antiderivada obtenemos que:

Integramos de a$a$ hasta b$b$, nos fijamos en el lado derecho e izquierdo de la ecuación $(2)$(2) como sigue:

Utilizamos nuevamente el teorema fundamental del Cálculo, obteniendo lo siguiente:

Observamos las ecuaciones (1) $(1)$y (3)$(3)$, vemos que se obtuvo la igualdad deseada, por lo que:

Método de sustitución

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar 

Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

Se sustituye la diferencial en la integral:

Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

 Se vuelve a la variable inicial:

Fuentes de Información

https://blog.nekomath.com/calculo-diferencial-e-integral-ii-metodo-de-sustitucion-o-cambio-de-variable/

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/integrales/integracion-por-sustitucion-o-cambio-de-variable.html

https://www.youtube.com/watch?v=aLgA4cnpYLw&list=PLeySRPnY35dFVzWQZ-USBpIJ7Ygdwh3O3&index=3

https://www.youtube.com/watch?v=3bKcq50Hbc4&list=PLeySRPnY35dFVzWQZ-USBpIJ7Ygdwh3O3&index=2

https://www.youtube.com/watch?v=me4h_Ye3o3Y&list=PLeySRPnY35dFVzWQZ-USBpIJ7Ygdwh3O3